כמה יצטבר לכם עם ריבית דריבית

איך המחשבון מגיע למספר

לריבית דריבית יש נוסחה סגורה, והיא מדויקת כל עוד איש אינו גובה עמלה באמצע. ברגע שנכנסים לתמונה דמי ניהול שיורדים מהיתרה מדי חודש, ודמי ניהול שנגרעים מכל הפקדה עוד לפני שהושקעה, הנוסחה מפסיקה לתאר את מה שקורה בחשבון. לכן החישוב כאן אינו נוסחה אלא הרצה של ‎240‎ חודשים לתקופה של ‎20‎ שנה, חודש אחר חודש.

חודש בודד נראה כך. ההפקדה נכנסת, ואם הגדרתם דמי ניהול מהפקדה הם יורדים ממנה מיד, כך שאותו חלק גם אינו מושקע וגם אינו צובר תשואה לעולם. מה שנותר מצטרף ליתרה, היתרה כולה גדלה לפי התשואה החודשית, ולבסוף נגבים דמי הניהול מהצבירה — חלק אחד מתוך ‎12‎ מהשיעור השנתי, מהיתרה המלאה. זה סדר הפעולות שגוף מנהל מבצע בפועל, ולכן זה הסדר כאן.

התשואה שאתם מזינים היא שנתית אפקטיבית. שנים עשר חודשי צמיחה מצטברים בדיוק לשיעור שהקלדתם, ולא ליותר ממנו. מחשבון שמחלק את השיעור השנתי ב־‎12‎ ומכפיל שוב ושוב מקבל בפועל ‎5.1162%‎ בשנה במקום ‎5%‎, והפער הזה לבדו מוסיף ‎21,518‎ ש״ח לתרחיש שבסעיף הבא, כשהוא נמתח על פני שלושים שנה. ההפרש נראה כמו עיגול בשנה הראשונה, והוא כבר אינו עיגול בשנה השלושים.

ההפקדה נחשבת כמי שנכנסה בתחילת החודש, ולכן היא צוברת תשואה כבר באותו חודש. גוף שמזכה את ההפקדה באמצע החודש או בסופו ייתן תוצאה נמוכה במעט, וההפרש גדל ככל שההפקדה החודשית גדולה יחסית ליתרה. אפשר להזין גם תשואה שלילית, עד ‎-50%‎: היתרה דועכת, דמי הניהול ממשיכים להיגבות ממה שנשאר, והתוצאה אינה יורדת מתחת לאפס. תקופה אינה חייבת להיות מספר שלם של שנים — ‎10.5‎ שנים הן ‎126‎ חודשים, והחודש החלקי שנותר מחושב לפי חלקו, גם בהפקדה וגם בתשואה וגם בעמלה.

הרווח מחושב פעם אחת, בסוף — היתרה פחות סך כל מה שהופקד. המס חל על הרווח בלבד, ואם דמי הניהול הקדימו את התשואה והרווח יצא שלילי, המס הוא אפס. הפסד אינו מזכה בהחזר, ומספר מס שלילי בשורת התוצאה הוא מספר שאינו קיים במציאות.

דוגמה מלאה: ‎50,000‎ ש״ח ועוד ‎1,000‎ בחודש

נניח ‎50,000‎ ש״ח שכבר צבורים, הפקדה של ‎1,000‎ ש״ח בכל חודש, תשואה של ‎5%‎ בשנה, דמי ניהול של ‎0.5%‎ מהצבירה ותקופה של ‎20‎ שנה — ברירת המחדל שהמחשבון נטען איתה.

סך ההפקדות לאורך התקופה הוא ‎290,000‎ ש״ח, כלומר הסכום ההתחלתי ועוד ‎240‎ הפקדות חודשיות. היתרה בתום ‎20‎ השנים היא ‎504,602‎ ש״ח, מתוכם ‎214,602‎ ש״ח מעבר לכסף שהוכנס. בדרך נגבו ‎24,559‎ ש״ח דמי ניהול.

מעניין יותר מהסכום הסופי הוא הקצב שבו הוא נבנה. בתום השנה הראשונה הרווח המצטבר עומד על ‎2,527‎ ש״ח, פחות מרבע מההפקדות של אותה שנה. בתום השנה העשירית היתרה היא ‎228,315‎ ש״ח והרווח המצטבר ‎58,315‎ ש״ח. בשנה העשרים לבדה היתרה גדלה ב־‎33,382‎ ש״ח, שמתוכם רק ‎12,000‎ ש״ח הם הפקדות. אותה הפקדה חודשית בדיוק, אלא שהיא פוגשת יתרה הגדולה פי שניים מזו שעמדה שם בשנה העשירית.

מכאן גם המסקנה המעשית של הטבלה השנתית שמתחת לגרף: קיצור התקופה בחמש שנים אינו גורע רבע מהתוצאה אלא הרבה יותר, מפני שחמש השנים שנחתכות הן דווקא אלה שהיו פועלות על היתרה הגדולה ביותר.

חצי אחוז דמי ניהול, וכמה הוא באמת עולה

באותה דוגמה בדיוק, החלפת ‎0.5%‎ דמי ניהול ב־‎1%‎ מורידה את היתרה הסופית מ־‎504,602‎ ל־‎471,847‎ ש״ח. ההפרש הוא ‎32,755‎ ש״ח, אף שסך דמי הניהול הנוספים שנגבו עומד על ‎22,441‎ ש״ח בלבד. הפער בין שני המספרים האלה הוא הנקודה כולה: כל שקל שנגבה הוא גם שקל שאינו ממשיך לצבור תשואה עד סוף התקופה, וככל שהוא נגבה מוקדם יותר כך הוא עולה יותר.

על תקופה של ‎30‎ שנה אותה החלפה מורידה את התוצאה מ־‎932,691‎ ל־‎842,253‎ ש״ח. כאן כבר אין צורך לחפש את ההבדל בעשירית האחוז של התשואה.

דמי ניהול מהפקדה נשמעים גדולים יותר — ‎2%‎ מכל שקל שנכנס — אבל בדוגמה שלמעלה הם מורידים את היתרה ב־‎7,692‎ ש״ח בלבד. הסיבה פשוטה: הם נגבים פעם אחת מכל הפקדה, ולא שוב ושוב מכל היתרה שהצטברה. שני סוגי דמי הניהול נכנסים לחישוב בנפרד, כי הם מתנהגים אחרת לגמרי לאורך זמן.

למה משך הזמן מכריע את גובה התשואה

הפקדה של ‎1,000‎ ש״ח בחודש, בלי סכום התחלתי ובלי דמי ניהול. במשך ‎15‎ שנה בתשואה של ‎8%‎ היא מגיעה ל־‎339,778‎ ש״ח. במשך ‎30‎ שנה בתשואה נמוכה בהרבה, ‎5%‎, היא מגיעה ל־‎818,698‎ ש״ח — יותר מפי שניים. אפילו ‎12%‎ בשנה במשך ‎15‎ שנה, תשואה שאין שום סיבה להניח מראש, נעצרים ב־‎475,931‎ ש״ח ואינם סוגרים את הפער.

חלק מההסבר טריוויאלי: תקופה כפולה היא גם כפל הפקדות. אבל ההפקדות מסבירות רק ‎360,000‎ ש״ח מתוך התוצאה של שלושים השנה, וכל היתר — ‎458,698‎ ש״ח — הוא תשואה שנצברה על תשואה. הרכיב הזה גדל עם מספר התקופות הרבה יותר מכפי שהוא גדל עם גובה השיעור, וזו הסיבה שהשוואת מסלולים לפי תשואה שנתית בלבד מטעה.

איך לקרוא את הגרף ואת הטבלה

בגרף שמתחת לתוצאה יש שני קווים. המקווקו הוא הכסף שהוכנס — הוא עולה בקצב קבוע, כי הפקדה חודשית קבועה היא קו ישר. הרציף הוא היתרה בפועל. המרחק בין השניים הוא הרווח שנצבר, והדבר שכדאי להסתכל עליו הוא לא גובה הקווים אלא הקצב שבו המרחק ביניהם נפתח: בשנים הראשונות הם כמעט נוגעים, ומהאמצע ואילך הם מתרחקים במהירות גוברת. הפס הצבעוני מתחת לסכום מראה את אותו יחס בנקודת הסיום, בין מה שהופקד לבין מה שנצבר עליו.

הטבלה השנתית פותחת את אותו סיפור שורה־שורה, כולל עמודת דמי הניהול. שם אפשר לראות מתי הרווח המצטבר עוקף את סך העמלות שנגבו — בתקופות קצרות או בתשואה נמוכה זה עשוי לא לקרות כלל, וזה בדיוק המצב שבו שורת המס נשארת אפס.

אינפלציה ומס, שני המספרים שמקטינים את התוצאה בסוף

היתרה שמופיעה בראש התוצאה היא סכום נומינלי — שקלים של אותה שנה עתידית, לא של היום. באותה דוגמה, ‎504,602‎ ש״ח בעוד ‎20‎ שנה שווים בכוח הקנייה של היום ‎339,583‎ ש״ח, בהנחת אינפלציה של ‎2%‎ בשנה. שני המספרים נכונים ואינם סותרים; הם עונים על שתי שאלות שונות, ולכן שניהם מוצגים זה לצד זה ולא זה במקום זה.

שדה המס מתחיל ב־‎0‎, וזו החלטה ולא השמטה: שיעור המס תלוי בסוג החשבון ובמסלול שבו הכסף מנוהל, והמחשבון אינו מניח מה חל עליכם. מי שיודע מה השיעור שלו יזין אותו ויקבל שורת מס מלאה. בדוגמה שלמעלה, ‎25%‎ על הרווח כולו מייצרים מס של ‎53,650‎ ש״ח; אותו שיעור בדיוק, כשהוא מחושב רק על הרווח שמעל האינפלציה, מייצר ‎33,897‎ ש״ח. הפרש של כמעט ‎20,000‎ ש״ח שנובע כולו מבחירת הבסיס — וזו בדיוק הסיבה שהבחירה הזו מופיעה כשדה שאתם קובעים, ולא כהנחה סמויה בתוך החישוב.